You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
<strong>Ornamenty</strong><br />
Zuzana Štauberová (zuzana@kma.zcu.cz)<br />
1. Co je ornament?<br />
Ornament je njaký pravideln se opakující se vzor. Na rozdíl od pouhého dekoru (tj. výzdoby) je<br />
ornament „zpsob výzdoby vytvoený rytmickým a symetrickým opakováním naturalistických nebo<br />
abstraktních prvk, motiv“. Termín „ornament“ pochází ze slova „ornare“ = zdobit, které má pvod ve slov<br />
„ordo“ = poádek, ád. Mžeme proto íci, že ornament vyjaduje ozdobu s jistým vnitním ádem. Ornament<br />
je píkladem, na kterém naše instinkty provádí rozeznávání, vytváení a klasifikaci struktur. Uvidíme, že<br />
množství jednotlivých alternativ nemusí být tak velké, jak by se mohlo zdát.<br />
Z hlediska obsahového dlíme ornamenty na ti druhy:<br />
1. naturalistický<br />
• zvíecí<br />
• rostlinný<br />
• vcný<br />
• figurální<br />
2. abstraktní<br />
• geometrický<br />
• stylizovaný, tj. zobrazování rostlin,<br />
zvíat a lidí je mén skutené<br />
3. kombinace pedchozích bod 1. a 2.<br />
Z hlediska strukturálního dlíme ornamenty na dva druhy:<br />
1. spojitý (kontinuální), který je tvoen souvislou strukturou, nap. vlnovkou<br />
2. nespojitý (diskrétní), který je tvoen ze samostatných prvk, nap. adou bod nebo ar<br />
Z hlediska morfologického dlíme ornamenty na ti druhy:<br />
1. Rozetový vzor (solitér, ržice) 2. Frýzový vzor (vlys, pás) 3. Tapetový vzor (ozdobné pole)<br />
Samotná tvorba ornamentu není jednoduchá, pedpokládá jistou míru abstrakce, fantazie a pedstavivosti. Jde<br />
o zobrazování myšlenek vzniklých abstrakcí a idealizací pírodních útvar (ornament geometrický) nebo<br />
stylizaci rostlinných a živoišných forem. Navíc je dležité mít stále na pamti, že ornament není pouhý dekor<br />
(za který bývá asto zamován), že v ornamentu se motivy pravideln opakují. Díky této pravidelnosti<br />
mžeme zkoumat ornamenty pomocí matematiky, pesnji eeno z hlediska existence shodných zobrazení:<br />
posunutí, stedové a osové soumrnosti, otoení a posunuté osové soumrnosti, píp. identity.
2. Vývoj ornamentu<br />
Pi pohledu na typy dekoru v prbhu vývoje lidské civilizace si uvdomíme, že celé vzory i jednotlivé<br />
motivy jsou dležitým pramenem poznání symboliky a vidní svta jejich tvrc, jejich názor, hodnot<br />
a zpsob myšlení. K jedné ze základních schopností lovka patí schopnost vnímat struktury.<br />
„Všudypítomnost ornamentálních forem v kulturách, které nemly a nemají tušení o jejich matematickém<br />
významu a úplnosti, svdí o vrozené lidské vnímavosti ke strukturám.“. Vznik ornamentu souvisí s poátky<br />
výtvarného umní vbec a je rozšíen po celém svt ve všech lidských kulturách.<br />
Ornament graficky symbolizuje rytmus, proto patil s tancem, tleskáním,<br />
bubnováním a zpvem mezi nejstarší umlecké projevy lovka již v období<br />
stedního paleolitu (starší doba kamenná). Vtšina vzor vznikala údajn<br />
bez zámru, pouze jako výsledek technického procesu ezání kostí, pletení koš,<br />
tkaní. Pro svou estetickou hodnotu pak byly tyto vzory zámrn opakovány. Magické<br />
symboly v ornamentálních strukturách ukazují na vztahy mezi ornamentem a mýtem.<br />
Egypt. Rozkvt výtvarného umní v Nové íši (1580–1085 p. Kr.)<br />
je bohatý. Staví se obrovské chrámy, které byly zdobeny pedevším výjevy<br />
ze života boh a faraón. Hroby královských úedník, správc a knží však byly<br />
vyzdobeny podivuhodnými ornamenty. Egyptský ornament má své zvláštní prvky,<br />
jež zstávaly po staletí i tisíciletí ustálené. Užívány byly motivy z íše rostlinné<br />
i živoišné:<br />
lotos – symbol božstva Nilu, papyrus (obr.), palmové listy – používáno spíše<br />
v pozdjších dobách, bodlák, býk, beran se sluncem – symbol boha Amona, šakal,<br />
krokodýl, kráva, ibis, brouk vruboun posvátný, jestáb – symbol boha Osirida.<br />
<strong>Ornamenty</strong> se malovaly zpravidla šesti barvami – bílou, ervenou, ernou, žlutou,<br />
zelenou a modrou.<br />
ecký ornament byl, je a asi zstane<br />
nevyerpatelnou studnicí studia vdc a umlc. Jeho<br />
hlavní pínos spoívá ve vzniku nových geometrických<br />
ozdobných tvar: zuboez (obr.), perlovec, vejcovec, …<br />
Naprostá pesnost eckých vzor, jejich krása<br />
a dokonalost se objevuje na památkách ecké architektury,<br />
ale i na nejjednodušších pedmtech ecké domácnosti. Nádoby<br />
z 11.–8. století p. Kr. jsou vyrobeny z nažloutlé nebo naervenalé hlíny,<br />
pomalovány hndými nebo ernými ornamenty: pletenec, palmeta, pásová<br />
ozdoba, meandr, moská vlna, zvíata a lidské postavy z mytologických bájí.<br />
Pvod ímského dekorativního umní vychází z kultury etruské<br />
a ecké. ímané pivedli ornamenty k dokonalosti v mozaikách, kterými<br />
zdobili podlahy a stny budov veejných i soukromých. Využívali k tomu<br />
vzory geometrické, ale i motivy rostlin a plod (réva, bean, aloe, fíky,<br />
palmové listy, vavín), zvíata, bohy, lidské postavy. Vytváeli také rovinné<br />
meandrové vzory psobící prostorovým dojmem (obr.).<br />
Rozhodující vliv na charakter japonské kultury mla zenová filozofie, která pronikla z íny<br />
v 6. století, k rozšíení však došlo až ve 13. století. Na rozdíl od ostatních budhistických sekt byla sekta zen<br />
velkou inspirátorkou umní a emesel. Oblíbeným námtem se stala zvíata, ptáci a rostliny. Z pohledu vývoje<br />
ornamentu se dalším zajímavým obdobím jeví doba Monojama (16. stol.), jejímž symbolem jsou textilie.<br />
Prostý stih šat té doby se zachoval dodnes v kimonu. Vzorování spoívalo v nanášení rýžového škrobu<br />
na látku pes papírovou šablonu. Následným barvení a praním zstával na látce dekorativní vzor.
U japonského ornamentu lze pozorovat jisté nepesnosti v systematickém azení vzor, naopak<br />
arabské ornamenty (8.–15. stol.) se vyznaují pesn a soumrn propletenými ozdobami. Je vidt,<br />
že v arabské kultue bylo ornamentální umní chápáno v tsném spojení s matematikou – s pravidelnou<br />
symetrií. Vta z koránu (tzv. hadith), podle které nebylo vyznavam Muhamedovým dovoleno zobrazovat<br />
lidské postavy i zvíata, zpsobila, že Arabové všechnu<br />
svoji fantazii a umleckou vynalézavost vnovali<br />
ornamentu.<br />
Za základní prvky arabského ornamentu lze jist<br />
považovat symetrické hvzdy – tzv. zalij (obr.). Nejastji<br />
se vyskytují se šesti, osmi, deseti, dvanácti a šestnácti<br />
paprsky. Arabské ornamentální mistrovství dosáhlo vrcholu<br />
v polovin 14. století, jak lze spatit v Asii, Africe,<br />
ale i v Evrop. Pohádkový dojem z ornamentální krásy<br />
vytvoené maurskými umlci mžeme obdivovat v paláci<br />
maurských král v granadské Alhambe<br />
nebo v cordobských mešitách ve Španlsku.<br />
Gotika je název pro období konce stedovku (12. - 15. století). Vedle velkolepých gotických katedrál<br />
však existovala ješt daleko skromnjší „druhá gotika“ mšanských dom. V 15. století se k výzdob stn,<br />
strop a nábytku v mšanských domech používaly z finanních dvod pouze šablony. Obytné ásti dom<br />
byly obkládány prkny a lištami, které se pak pokreslovaly ozdobnými pruhy – frýzy. Motivy „nekonené<br />
tapety“ se ve stední Evrop zaínají prosazovat až v závru 15. století. Je to údajn pedevším díky<br />
dováženým italským textiliím, kterými se zaíná hlásit nastupující renesance.<br />
Názvem anatolské koberce se oznaují barevné orientální koberce, které pocházejí z Anatolie, stepní<br />
oblasti Turecka. Pvodní koovné kmeny Turkmen zde žily ve stanech a v nich používaly koberce vyrobené<br />
z oví vlny. Ty mly krom praktických vlastností také vlastnosti estetické.<br />
Typickým motivem anatolského koberce je kvt „gül“ – turecky „rže, kvtina“ (obr.).<br />
Byl to vtšinou šestiúhelník nebo osmiúhelník s geometricky stylizovaným kvtem.<br />
Nejstarší doklady vázaných koberc nalezené na anatolském území pocházejí<br />
z 1. poloviny 13. století. Jejich lenní je „klasické“: stedové pole pravideln vyplnné<br />
geometrickými rostlinnými vzory, po obvodu široké pásy s dalšími geometrickými tvary<br />
vtšinou živoišného charakteru: slepií stopy, beraní rohy – symbol plodnosti,<br />
hrdinství a moci, hvzdy a hvzdice – symbol štstí a plodnosti apod. Od poloviny<br />
15. století jsou tyto motivy postupn nahrazovány vzory geometrickými.<br />
Zajímavým se jeví užití ornament v ozdobách a špercích amerických Indián. Jako materiál užívali<br />
zlato, stíbro, polodrahokamy, m , bronz, peí pták, schránky mkkýš, v novovku i dovážené sklenné<br />
korálky a knoflíky. Nedílnou souástí celkového vzhledu Indián bylo i ornamentální malování na kži, píp.<br />
tetování oblieje a ostatních ástí tla. Používaly se pedevším geometrické vzory doplnné magickými<br />
symboly. Znalost takového ornamentálního malování byla nezbytná.<br />
Poátkem 15. století se Itálie stala kolébkou reformního umní – renesance. Ornamentika se využívala<br />
v malbách na stny i sklo, v intarziích, výšivkách, kobercích, mramorových mozaikách i filigránových<br />
ozdobách. Objevuje se však ješt jeden druh výzdoby – krajky. Ty byly zhotovovány podle kreseb<br />
nejslavnjších mistr (nap. Rafael) a jejich ceny byly asto závratné. Krajkový ornament té doby využíval<br />
nejvíce motiv rostlinných, jen obas doplnný figurálními dekoracemi.<br />
Konec 19. století byl prodchnut symbolismem, secesí i dalšími historicko-umleckými prvky.<br />
Tato doba patila ke zlatému vku ornamentu. Vycházela ada publikací, ornament se vyuoval i na školách.<br />
V eských školách na pelomu 19. a 20. století neprobíhala práce s ornamenty v rámci výuky matematiky.<br />
Tím je také dán zpsob prezentace ornament. Nebyly používány ve spojení se shodnými zobrazeními, ale<br />
• jako prostedek nácviku pekreslování vzor (pedmt „Kreslení od ruky“),<br />
• skrze n se vychovávalo k tradicím národa a k národnímu odkazu pedk (pedmt „Runí práce“)<br />
S tím také souvisí jednotlivé typy ornamentálních vzor používané ve výuce. Jednalo se pedevším o lidové<br />
vzory z výšivek na krojích – svéráz.
Písmenový typografický styl odolává asu. Jinak je tomu však u nepísmenového typografického<br />
materiálu - linky a ornamenty, jimiž dotváeli výraz svých tisk naši pedkové. Je škoda, že „staré vzorníky<br />
jsou dnes vzácným a peliv steženým pokladem nkolika šastlivc a nové tiskárenské vzorníky vtšinou<br />
neexistují, nebo jsou omezeny jen na písmo“. Mapy znak, jež máme k dispozici v našich poítaových<br />
textových editorech, jsou slabou náhradou za množství linek, ozdobných roh, rámek, samostatných<br />
ornament, dekorativních grafických znak a symbol z pelomu 19. a 20. století.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Na poátku 20. století je možno pozorovat zdánlivý úbytek i zánik ornamentu. Novou vlnu<br />
egyptských vzor v dekorativním umní zvedl až objev Tutanchamonovy hrobky v roce 1922.<br />
Jedním z umlc, kteí propadli kráse ornament -<br />
konkrétn ornament maurských mozaik, byl Maurits Cornelis<br />
Escher (1898 – 1972). Když mladý Escher zvládl rzné grafické<br />
techniky (devoez, devoryt, litografie a mezzontino), zamil se<br />
na obsah svých dl. Chtl v každé své grafice zachytit njakou<br />
myšlenku, nápad i objev. S pomocí pítele matematika B. Ernsta<br />
rozšíil maurské ornamenty o rostliny, živoichy i lidi<br />
a pravidelným vyplnním roviny dokázal ilustrovat patnáct<br />
ze sedmnácti Fjodorovových rovinných grup symetrií – chybí<br />
grupy p4m a p6m. Escherovy grafiky (obr.) jsou velmi populární<br />
nejen mezi laickou veejností, ale i mezi matematiky<br />
a krystalografy.<br />
Giloši (obr.) – tento zajímavý pojem patí do hantýrky tiska, „guillochis“ znamená ornament složený<br />
z ar, které se symetricky protínají. Jsou používány jako<br />
obrazce tvoící podkladový tisk na bankovkách, cenných<br />
papírech a jiných úedních dokumentech. Dnes díky<br />
rozvoji poíta a za použití poítaové grafiky není<br />
píprava takových ornament obtížná. Konstrukce<br />
se obvykle volí pomocí Hermitových, Bézierových<br />
i B-spline kivek. Jejich tvary se mohou mnit volbou<br />
vstupních parametr. Obrazce jsou sice reprodukovatelné, ale poet kombinací jednotlivých parametr je<br />
velký, a proto je napodobení ornamentu velmi obtížné.<br />
Matematická teorie ornament (grup symetrií) zaala být významnji rozvíjena koncem 19. století<br />
spolen s enumeraními teoriemi krystalografických grup. Proto autory základních poznatk byli práv<br />
krystalografové (A. Bravais, E.S. Fjodorov, A. Schoenflies, W. Barlow, H. Hilton), kteí se zabývali vedle<br />
symetrických grup v rovin také grupami ve trojdimenzionálním prostoru.<br />
Je jist zajímavé, že na úpln první urení 17 tíd tapetových ornament ruským krystalografem<br />
E.S. Fedorovem z roku 1891 se pozapomnlo. Bylo totiž publikováno pouze v ruštin. Na znovuobjevení<br />
se pak podílel pedevším americký matematik ma arského pvodu G. Pólya (1924), dále pak P. Niggli<br />
(1924), A. Speiser (1927) a další. Od té doby se zaínají objevovat práce designer a historik studující vývoj<br />
ornamentu v rzných lidských kulturách nejen z hlediska umní, ale také z hlediska znázornní jednotlivých<br />
tíd grup symetrií.
3. Rozety<br />
V terminologii ornamentalistiky se k vyjádení rozetových vzor používají<br />
také výrazy jako solitér i ržice. S rozetami se setkáváme doslova na každém kroku:<br />
ozdobné kvtinové vzory, okna, gotické kružby, pdorysy kostel, erby, šperky,<br />
snhové vloky, pavuiny, kídla motýl, kvtinové záhony, plátky citrónu, zdobené<br />
koláe, knoflíky, ciferník hodin i kolo od auta nebo dopravní znaky. Mnoho<br />
náboženských rituál zaíná vytvoením posvátného kruhu, který má sloužit jako<br />
pozvánka Bohm. Pohyb v kruhu pak vede do stavu extáze. Nap. Eskymáci<br />
vyezávají opakujícími se rytmickými pohyby do kamene kruh, aby se pivedli<br />
do transu. I tibetští mnichové si berou kruhy – mandaly (obr.) na pomoc, když cvií<br />
meditaci a ponoení se do sebe.<br />
Symetrie útvaru je zobrazení, které tento útvar zobrazí na sebe.<br />
Nutná symetrie ornamentu: otoení<br />
Možné symetrie ornamentu: osová a stedová soumrnost<br />
Neobsahuje žádné posunutí.<br />
Množiny symetrií tídy C n<br />
Píklad: Uríme množinu všech symetrií daného útvaru (obr.):<br />
2 pímé symetrie (otoení o úhel 180°, 360°)<br />
žádné nepímé symetrie (neexistuje žádná osa symetrie)<br />
Množina všech symetrií útvaru = množina symetrií tídy C 2 (C – cyklická, 2 - poet<br />
rzných otoení ),<br />
která spolu s operací skládání zobrazení tvoí grupu (C 2 , ).<br />
Nazveme ji cyklická rozetová grupa ádu 2 nebo rozetová grupa tídy C 2 .<br />
Obecn: množina symetrií tídy C n<br />
(C n , ) – cyklická rozetová grupa ádu n (n rzných otoení).<br />
Cn<br />
<br />
<br />
r <br />
r ; r ;......;<br />
P ° P ° P ° <br />
,360<br />
n<br />
,2⋅360<br />
,360 <br />
n<br />
<br />
<br />
= <br />
,<br />
<br />
<br />
Množiny symetrií tídy D n<br />
n∈N<br />
Píklad: Uríme množinu všech symetrií daného útvaru (obr.):<br />
4 pímé symetrie (otoení o úhel 90°, 180°, 270°, 360°)<br />
4 nepímé symetrie (4 osové soumrnosti)<br />
Množina všech symetrií útvaru = množina symetrií tídy D 4 (D – diedrická, 4 - poet rzných otoení ),<br />
která spolu s operací skládání zobrazení tvoí grupu (D 4 , ).<br />
Nazveme ji diedrická rozetová grupa ádu 4 nebo rozetová grupa tídy D 4 .<br />
Obecn: množina symetrií tídy D n<br />
(D n , ) – diedrická rozetová grupa ádu n (n rzných otoení a n rzných osových soumrností).<br />
<br />
<br />
D n = o<br />
; o ;......; o ; r ; r ;.......; r ,<br />
n∈N<br />
∧n<br />
> 2<br />
a1<br />
a2<br />
an<br />
P,360°<br />
P,2⋅360<br />
° P,360°<br />
<br />
<br />
n n<br />
<br />
C n je podgrupa grupy D n .
D<br />
D<br />
D<br />
Rozety – 2 tídy (grupy symetrií)<br />
C n<br />
D n<br />
C 1<br />
C 2<br />
C 3<br />
C 4<br />
C C<br />
C<br />
D 1<br />
C<br />
C<br />
D<br />
D<br />
D<br />
D<br />
C<br />
C<br />
C<br />
D 2<br />
D 3<br />
D 4<br />
D<br />
D<br />
D<br />
DD<br />
D<br />
D<br />
D<br />
C<br />
C<br />
D<br />
D<br />
DD<br />
D<br />
Sainte Chapelle – Paíž D 6<br />
Basilica di San Giovanni in Laterno – ím C 4<br />
D 3<br />
C 3
4. Frýzy<br />
Americký etnolog Jan Vansina ve své knize „Dti les“ popisuje mimo jiné kulturu a zpsob života<br />
jednoho ernošského kmene v africkém Zairu. Zde se za hrdinský in považuje vymyšlení nového ornamentu.<br />
Každý náelník musí na poátku své vlády vytvoit nový ozdobný pruh, který je pak vyryt na jeho buben<br />
a stává se symbolem celého panovníkova rodu. Když sem ve dvacátých letech skupina misioná pivezla<br />
poprvé motocykl, vzbudil u domorodc jen velmi malou pozornost. Ale král byl po chvíli okouzlen a poklekl.<br />
Zaujal ho totiž neobvyklý vzor, který pi jízd motocyklu tiskly pneumatiky do písku. Panovník si okamžit<br />
tento pruh obkreslil a nazval ho svým jménem.<br />
F 1<br />
3<br />
Frýz (vlys, ozdobný pruh – obr.) je nekonený ozdobný<br />
ornamentální pruh hladký nebo zdobený motivy<br />
figurálními nebo ornamentálními. Frýz je nekonený<br />
útvar, nakreslený na papíru bude vždy objekt konený.<br />
Jeho nekonenost však zachováme v našem myšlení.<br />
Nutná symetrie ornamentu: posunutí<br />
Možné symetrie ornamentu: osová, stedová a posunutá soumrnost<br />
Množiny symetrií tídy F i<br />
j<br />
F i<br />
j<br />
pro: i = 1 … nemá stedovou soumrnost<br />
i = 2 … má stedovou soumrnost<br />
j = 1 … má osovou soumrnost s osou o<br />
j = 2 … má osovou soumrnost s osou a<br />
j = 3 … má posunutou soumrnost F 2<br />
2<br />
F 1<br />
1<br />
F 1<br />
2<br />
F 1<br />
3<br />
F 1<br />
F<br />
FF<br />
F<br />
F<br />
a<br />
F<br />
F<br />
FF<br />
F<br />
F F F F<br />
FF FF FF o FF<br />
F<br />
F<br />
F<br />
F F F F<br />
F<br />
o<br />
F 2<br />
F 2<br />
1<br />
F 2<br />
2<br />
F<br />
a<br />
FF<br />
a<br />
F<br />
F<br />
FF<br />
F<br />
F<br />
FF<br />
F<br />
F<br />
FF<br />
F<br />
F<br />
FF<br />
F<br />
F<br />
FF<br />
F<br />
o<br />
o<br />
o<br />
F 1<br />
2
Frýzy - 7 tíd<br />
Stedová soumrnost<br />
NE<br />
ANO<br />
Osová soumrnost s osou o<br />
Osová soumrnost s osou o<br />
NE<br />
ANO<br />
NE<br />
ANO<br />
Osová soumrnost s osou a<br />
F 1<br />
1<br />
Osová soumrnost s osou a<br />
F 2<br />
1<br />
NE<br />
ANO<br />
NE<br />
ANO<br />
Posunutá soumrnost<br />
F 1<br />
2<br />
F 2<br />
F 2<br />
2<br />
a<br />
NE<br />
ANO<br />
F 1 F 1<br />
3<br />
FF<br />
FF<br />
FF<br />
FF<br />
FF<br />
FF<br />
o<br />
F 1<br />
1<br />
F 2<br />
1<br />
Alcazar de los Reyes Cristianos - Cordoba<br />
F 1<br />
Banos de la Maria de Padilla, Reales Alcazares - Sevilla<br />
F 2<br />
1<br />
Palacio de Velazquez, Parque de Retiro - Madrid<br />
F 1<br />
2
5. Tapety, rovinné mozaiky<br />
Tapety – pokrývají celou rovinu.<br />
Stejn jako frýzy jsou i tapety nekonené útvary.<br />
Nutná symetrie ornamentu:<br />
dvojice lineárn nezávislých posunutí<br />
Možné symetrie ornamentu:<br />
osová, stedová, posunutá soumrnost i otoení<br />
W 1<br />
2<br />
Bod ádu n = tento bod je sted všech rotací,<br />
které tvoí cyklickou rozetovou grupu Cn<br />
V tapetách se spolu vyskytují pouze body ádu 1, 2, 3, 4 a 6.<br />
Neexistuje tapeta s body ádu 5 !<br />
W 4 W 6<br />
1<br />
W 6 W 2<br />
2<br />
Granada – palác Alhambra
W 1 ...360°<br />
(ád 1)<br />
W 2 ...180°<br />
(ád 1, 2)<br />
Existuje<br />
nepímá<br />
soumrnost<br />
Existuje<br />
nepímá<br />
soumrnost<br />
Tapety – 17 tíd (grup symetrií)<br />
ANO<br />
3<br />
W<br />
NE 1<br />
W<br />
NE 1<br />
ANO<br />
NE W 2<br />
Existuje<br />
osová<br />
soumrnost<br />
Existuje<br />
osová<br />
soumrnost<br />
ANO<br />
NE<br />
ANO<br />
Osy posunutých osových soumrností<br />
jsou totožné s osami osové soumrnosti<br />
Existuje njaký<br />
sted otáení,<br />
který leží na ose<br />
osové soumrnosti<br />
W 2<br />
4<br />
ANO<br />
NE<br />
ANO<br />
NE<br />
Existuje njaký<br />
sted otáení,<br />
který neleží na ose<br />
osové soumrnosti<br />
W 2<br />
3<br />
2<br />
W 1<br />
1<br />
W 1<br />
ANO<br />
1<br />
W 2<br />
2<br />
W 2<br />
NE<br />
W 3 ...120°<br />
(ád 1, 3)<br />
Existuje<br />
nepímá<br />
soumrnost<br />
ANO<br />
Existuje njaký sted otáení,<br />
který neleží na ose osové soumrnosti<br />
W 3<br />
ANO<br />
NE<br />
2<br />
W 3<br />
1<br />
W 3<br />
NE<br />
W 4 ...90°<br />
(ád 1, 2, 4)<br />
Existuje<br />
nepímá<br />
soumrnost<br />
ANO<br />
NE<br />
Existuje njaký sted otáení,<br />
který neleží na ose osové soumrnosti<br />
W 4<br />
ANO<br />
NE<br />
2<br />
W 4<br />
1<br />
W 4<br />
W 6 ...60°<br />
(ád 1, 2, 3, 6)<br />
Existuje<br />
nepímá<br />
soumrnost<br />
ANO<br />
W 6<br />
1<br />
W 6<br />
(Escher<br />
15 - chybí W 41 a W 61 , Alhambra 17)<br />
NE<br />
Sulawesi - Indonésie
Mozaiky<br />
Johanna Keplera známe pedevším díky jeho tem zákonm o drahách planet obíhajících kolem Slunce,<br />
málo se však ví o jeho výzkumech v oblasti rovinných mozaik. Druhá kniha jeho spisu "Harmonice Mundi“<br />
se jmenuje "Kongruence harmonických útvar" a je vnována mj. pravidelnému pokrývání roviny.<br />
Podívejme se na dlažby, mozaiky, parketáže a obklady oima matematiky. Zcela obecn mozaikou<br />
chápeme njakou plošnou výzdobu i obraz, jež je složen z rznobarevných kostiek, stípk apod. Budeme<br />
zkoumat, zda je možné pokrýt neomezen rovinu njakými útvary (dlaždicemi) tak, aby nedocházelo k jejich<br />
vzájemnému pekrývání ani aby nezstávaly v rovin "díry". Pestože tyto rovinné útvary mohou být<br />
libovolných tvar (elipsy, hvzdice, kvtiny), my budeme pro jednoduchost za dlaždici považovat libovolný<br />
mnohoúhelník.<br />
Matematika zkoumá mozaiky z hlediska pokrytí roviny dlaždicemi tak, aby:<br />
- Prnikem libovolných dvou dlaždic nejsou dlaždice (nepekrývají se)<br />
- Sjednocením všech dlaždic mozaiky je celá rovina (nejsou díry).<br />
Mozaika typu „strana na stranu“ – platí práv jedna z možností:<br />
- Dlaždice mají spolenou práv 1 celou stranu. ano<br />
- Mají spolený práv jeden vrchol.<br />
- Nemají žádný spolený bod.<br />
ne<br />
Každému vrcholu X mozaiky typu „strana na stranu“ piadíme<br />
r-tici ísel (n 1 .n 2 ….n r ), uspoádanou po smru hodinových ruiek.<br />
Píklad: Bod 1 (6.3.4.4.), bod 2 (6.4.3.4)<br />
Vrcholy stejného druhu (stejnorodé):<br />
pro r-tice pro oba vrcholy platí rovnost množin, nezáleží na poadí.<br />
Píklad: Bod 1 (6.3.4.4.) a bod 2 (6.4.3.4) jsou stejného druhu (ne<br />
však typu)<br />
3<br />
Vrcholy stejného typu:<br />
- ob r-tice obsahují stejné prvky ve stejném poadí a stejném smru otáení<br />
- ob r-tice obsahují stejné prvky ve stejném poadí ale v opaném smru<br />
otáení<br />
Píklad: Bod 1 (6.3.4.4.) a bod 3 (4.3.6.4) jsou stejného typu<br />
Pravidelná mozaika – jednoprvková mozaika složená z pravidelných n-úhelník, jejíž všechny vrcholy<br />
jsou stejného typu.<br />
Polopravidelná mozaika – víceprvková mozaika složená z pravidelných n-úhelník, jejíž všechny vrcholy<br />
jsou stejného typu.<br />
Kepler jako první matematicky popsal pravidelné a polopravidelné mozaiky složené z rovnostranných<br />
mnohoúhelník (nap. hvzdic). My budeme zkoumat pouze mozaiky složené z pravidelných n-úhelník<br />
s vrcholy stejného typu.
Vyšetování mozaik:<br />
1) Stanovíme omezení pro n i a r<br />
2) Uríme všechny možné druhy a typy vrchol<br />
3) Vybereme jen ty mozaiky, které mají vrcholy stejného typu<br />
4) Pravidelné a polopravidelné mozaiky a pohled na n z hlediska ornamentálních vzor.<br />
ad 1) Omezení pro n i a r<br />
Pro pravidelné a polopravidelné mozaiky musí platit: n i ≥ 3 ∧ 3 ≤ r ≤ 6<br />
180 (n 1 - 2) 180 (n 2 - 2)<br />
n<br />
+<br />
n + ......... +<br />
2<br />
1 1 1 r − 2<br />
+ + +<br />
= (1)<br />
n n n 2<br />
1<br />
2<br />
r<br />
180 (n - 2) r<br />
n r<br />
= 360<br />
ad 2) Druhy a typy vrchol<br />
Postupným dosazováním r = 3, 4, 5, 6 do rovnice (1) získáme celkem 17 rzných celoíselných ešení,<br />
tj. 17 typ vrchol:<br />
r = 3: (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18), (3.10.15), (3.12,12), (4.5.20), (4.6.12), (4.8.8), (5.5.10), (6.6.6)<br />
r = 4: (3.3.4.12), (3.3.6.6), (3.4.4.6), (4.4.4.4)<br />
r = 5: (3.3.3.3.6), (3.3.3.4.4)<br />
r = 6: (3.3.3.3.3.3)<br />
Zohledníme-li poadí r-tic, musíme pidat vrcholy typu<br />
(3.12.3.4), (3.6.3.6), (3.4.6.4), (3.3.4.6.4) a dostaneme 21 typ vrchol.<br />
ad 3) Vrcholy stejného typu<br />
Ukažme si, že ne každá z jedenadvaceti pedložených možností typu vrcholu mže tvoit pravidelnou<br />
i polopravidelnou mozaiku. Nestaí totiž znát jen typ vrcholu, potebujeme mít zajištno, aby všechny<br />
vrcholy byly stejného typu. Jednotlivé výše vypsané možnosti musíme proto podrobnji vyšetit se zetelem<br />
na naše uvažované požadavky:<br />
Píklad: úvaha pro r = 3<br />
Z obrázku je patrné, že dva<br />
vrcholy jsou typu (3.x.y), ale typu<br />
(3.x.x). Aby byly všechny<br />
vrcholy stejného typu, musí platit<br />
x = y.<br />
Tudíž nám vyhovuje pouze možnost (3.12.12), ale nevyhovují (3.7.42), (3.8.24), (3.9.18) a (3.10.15).<br />
Analogickými úvahami vylouíme další nevyhovující r-tice pro r = 3, 4, 5, 6.<br />
Závr: Z jedenadvaceti možných typ vrchol jich jen jedenáct tvoí základ pro pravidelnou<br />
i polopravidelnou mozaiku (viz pehled v tab. 1).<br />
r = 3 r = 4 r = 5 r = 6<br />
vyhovující<br />
ešení<br />
nevyhovující<br />
ešení<br />
vyhovující<br />
ešení<br />
nevyhovující<br />
ešení<br />
vyhovující ešení nevyhovující<br />
ešení<br />
vyhovující ešení nevyhovující<br />
ešení<br />
(3.12.12) (3.7.42) (3.4.6.4) (3.3.4.12) (3.3.3.3.6) (3.3.3.3.3.3)<br />
(4.6.12) (3.8.24) (3.6.3.6) (3.4.3.12) (3.3.3.4.4)<br />
(4.8.8) (3.9.18) (4.4.4.4) (3.3.6.6) (3.3.4.3.4)<br />
(6.6.6) (3.10.15) (3.4.4.6)<br />
(4.5.20)<br />
(5.5.10)<br />
Tab. 1
4. Pravidelné a polopravidelné mozaiky<br />
Naše výsedky zaznamenané do tabulky 1 odpovídají znní vty, která bývá obas nazývána vtou<br />
Keplerovou: "Neuvažujeme-li podobnost, existuje práv jedenáct rzných mozaik typu "strana na stranu", kde<br />
všechny vrcholy jsou stejného typu a dlaždice ve tvaru pravidelných mnohoúhelník."<br />
Jedenáct mozaik z tabulky 1 (= Archimedovy mozaiky) mžeme jednoznan rozdlit na dv skupiny:<br />
na pravidelné a polopravidelné.<br />
a) Pravidelné mozaiky jsou 3:<br />
• složené z rovnostranných trojúhelník, tj. všechny vrcholy typu (3.3.3.3.3.3),<br />
• složené ze tverc, tj. všechny vrcholy typu (4.4.4.4),<br />
• složené z pravidelných šestiúhelník, tj. všechny vrcholy typu (6.6.6).<br />
W 6<br />
1<br />
W 4<br />
1<br />
W 6<br />
1<br />
b/ Polopravidlených mozaik je 8:<br />
Symetrie pravidelných a polopravidelných mozaik tvoí pt rzných tapetových grup:W 2<br />
1 ,W4 1 ,W4 2 ,W6 ,W 6<br />
1 .<br />
W 6<br />
1<br />
1<br />
(3.12.12) W 6 (4.6.12)<br />
W 4<br />
1<br />
1<br />
(4.8.8) W 6 (3.4.6.4)<br />
W 6<br />
1<br />
(3.6.3.6) W 6 (3.3.3.3.6)<br />
W 4<br />
2<br />
(3.3.3.4.4) 2 (3.3.4.3.4)<br />
W 4
Literatura:<br />
RNDr. Jana Pradlová, CSc.,<br />
Karl Levitin: Geometrická rapsodie<br />
Mario Livio: Zlatý ez, Dokoán, Praha 2006<br />
Alena Šarounová: Soumrnosti v rovin, Veset, Plze 1993<br />
V. Heroldová: Šovíková, Dr. J. Kandert ,Csc.: Africký ornament a tvar, Náprstkovo muzeum, Praha 1993<br />
J. Skuhravý: Barevný ornament, nakladatel: I.L. Kober knihkupectví, Praha 1906<br />
Text pednášky:<br />
http://geometrie.kma.zcu.cz/index.php/www/content/view/full/279/<br />
<strong>Ornamenty</strong>:<br />
http://www.emis.de/monographs/jablan/<br />
http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/washington/tile/<br />
Mozaiky, M.C.Escher:<br />
http://www.mcescher.com/<br />
http://www.tessellations.org/eschergallery26.htm<br />
http://ieng9.ucsd.edu/~ma155f/FINAL/cfinalescherpost05.pdf<br />
http://www.combinatorics.org/Volume_4/PDF/v4i2r17.pdf<br />
http://www.mccallie.org/myates/Symmetry/wallpaperescher.htm<br />
http://gwydir.demon.co.uk/jo/tess/sqtile.htm<br />
http://www.dartmouth.edu/~matc/math5.pattern/lesson1math.html